拓撲學

拓撲學tuò pū xué

◎數學的一個分支，研究幾何圖形在連續改變形狀時還能保持不變的一些特性，它隻考慮物體間的位置關係而不考慮它們的距離和大小。

拓撲學

• 英文 topology

核心概念

拓撲學（Topology）是數學的一個分支，研究幾何形狀和空間在連續變形下的性質。它關注的是物體在拉伸、扭曲或壓縮時保持不變的性質，而不是它們的具體形狀或大小。

1. 連續性：拓撲學中的變形不允許撕裂或粘合，例如將一個圓形變成橢圓是允許的，但將一個圓形剪開後再粘合就不是拓撲允許的操作。

2. 拓撲不變量：在連續變形下保持不變的性質。例如：

   • 連通性：一個圖形是否是連通的。
   • 孔的數量：例如，圓環有一個孔，球體沒有孔。
   • 基數：一個空間的點集的大小（通常用於描述無窮集合）。

3. 開集和閉集：拓撲學的基本工具是通過開集和閉集來定義空間的結構。

4. 拓撲空間：由一組點和一組滿足特定性質的開集構成，拓撲學的許多理論基於此。

拓撲學的分支

1. 點集拓撲學：研究拓撲空間的基本性質，例如緊致性、連通性和極限點。
2. 代數拓撲：使用代數工具（如群、環）研究拓撲空間，例如同調和基本群。
3. 微分拓撲：研究可微分流形上的拓撲性質，結合微積分工具。
4. 幾何拓撲：研究較高維度的幾何和拓撲，例如三維空間中的結（結理論）。

拓撲學的例子

1. 咖啡杯和甜甜圈：在拓撲學中，咖啡杯和甜甜圈被認為是等價的，因為可以通過連續變形將一個變成另一個（它們都隻有一個孔）。
2. 莫比烏斯帶：一種隻有一個麵的曲麵。
3. 克萊因瓶：一種無法嵌入三維空間的奇特曲麵。

拓撲學的應用

1. 數據分析：拓撲數據分析（TDA）用於發現高維數據中的結構。
2. 物理學：研究相變和拓撲絕緣體。
3. 生物學：分析分子形狀和DNA的拓撲結構。
4. 計算機科學：用於網絡、機器人路徑規劃等。

總結來說，拓撲學可以被看作是“彈性幾何學”，關注的是形狀在彈性變形下的本質屬性，而不關心具體的幾何細節。